Πολλαπλασιασμός Πινάκων

Ας είναι ο $m\times n$ πίνακας $Α=(a_{ij})$ & o $n\times p$ πίνακας  $B=(b_{ij})$. Ο πίνακας $C=(c_{ij})$ που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό του $A$ με τον $B$ ορίζεται από τη σχέση $$(c_{ij})=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$$

Ο πίνακας $C$ είναι ένας $m\times p$ πίνακας. Για να ορίζεται, φυσικά, ο πολλαπλασιασμός δύο πινάκων, πρέπει ο πρώτος να έχει τόσες στήλες, όσες είναι οι γραμμές του δεύτερου πίνακα, όπως φαίνεται και στον παραπάνω ορισμό.

Ας δούμε ένα παράδειγμα πολλαπλασιασμού πινάκων. Έστω οι πίνακες 

$$Α=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}\, ,\: B=\begin{bmatrix} -1 & -2 & -3 \\ -4 & -5 & -6 \end{bmatrix}$$

Αν συμβολίσουμε με $C$ τον $2\times 2$ πίνακα που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό $Α\cdot B$, τότε το $c_{11}$ σύμφωνα με τον ορισμό θα είναι $c_{11}=\displaystyle\sum_{k=1}^{2}a_{1k}b_{k1}=1\cdot (-1)+2\cdot (-4)=-9$. Ας δούμε ακόμη ένα στοιχείο: $c_{32}=\displaystyle\sum_{k=1}^{2}a_{3k}b_{k2}=5\cdot (-2)+6\cdot (-5)=-40$. Τα υπόλοιπα στοιχεία αφήνονται ως εξάσκηση στον αναγνώστη.
Ο πίνακας που προκύπτει είναι ο

$$C=\begin{bmatrix} -9 & -12 & -15\\ -19 &-26 &-33\\ -29 & -40 &-51\end{bmatrix}$$

Άσκηση: Να γίνει ο πολλαπλασιασμός των παρακάτω ζευγών πινάκων, όπου ορίζεται:

1. $\begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 2\end{bmatrix}\, ,\:  \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$
2. $\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}\, ,\:  \begin{bmatrix} \frac{1}{5} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{bmatrix}$
3. $\begin{bmatrix} 2^{-2016} & -3^{2017} \end{bmatrix}\, ,\:  \begin{bmatrix} 2^{2017} \\ 3^{-2016}  \end{bmatrix}$