Η εξίσωση δευτέρου βαθμού

Έστω η εξίσωση $\alpha x^2+\beta x+\gamma=0$, με $\alpha\neq 0$. Η εξίσωση αυτή ονομάζεται δευτεροβάθμια και έχει το πολύ δύο πραγματικές λύσεις. Για να βρούμε τις λύσεις αυτές, αν υπάρχουν, πρώτα βρίσκουμε τη διακρίνουσα, η οποία δίνεται από τον τύπο: $$\Delta=\beta^2-4\alpha\gamma$$
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

1.  Αν $\Delta>0$, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις, τις: $$x_1=\displaystyle\frac{-\beta+\sqrt{\Delta}}{2\alpha}$$ $$x_2=\displaystyle\frac{-\beta-\sqrt{\Delta}}{2\alpha}$$
2. Αν $\Delta=0$, τότε έχει μία διπλή πραγματική λύση, τη $$x=\displaystyle\frac{-\beta}{2\alpha}$$
3. Τέλος, αν $\Delta<0$, τότε λέμε πως η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις.

Παράδειγμα: Έστω η εξίσωση $-x^2+5x-6=0$. Υπολογίζουμε πρώτα τη διακρίνουσα:
$$\Delta=\beta^2-4\alpha\gamma=5^2-4(-1)(-6)=25-24=1>0$$
Η διακρίνουσα είναι θετική, άρα έχει δύο πραγματικές λύσεις, τις:
$$x_1=\displaystyle\frac{-\beta+\sqrt{\Delta}}{2\alpha}=\displaystyle\frac{-5+\sqrt{1}}{2(-1)}=\displaystyle\frac{-4}{-2}=2$$
$$x_2=\displaystyle\frac{-\beta-\sqrt{\Delta}}{2\alpha}=\displaystyle\frac{-5-\sqrt{1}}{2(-1)}=\displaystyle\frac{-6}{-2}=3$$

Στην περίπτωση που έχουμε μια εξίσωση που δεν είναι στη γνωστή μας μορφή, πρώτα τη φέρνουμε στη μορφή που είδαμε κι έπειτα λύνουμε την εξίσωση με την παραπάνω μεθοδολογία. Π.χ. έστω η εξίσωση $x^2+2x+3=3x^2+2x+1\Leftrightarrow 2x^2-2=0$ και σε αυτή τη μορφή μπορούμε να εφαρμόσουμε τα παραπάνω. (Παρατήρηση: στο τελευταίο παράδειγμα έχουμε $\alpha=2,\, \textcolor{blue}{\beta=0},\,\gamma=-2$)

Άσκηση: Να λυθούν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών οι παρακάτω εξισώσεις:

1.  $x^2-7x+12=0$
2.  $-3x^2+4x+4=-2x^2+8$
3.  $2+x^2=2x$